勾股定理是数学中非常重要的定理之一，在几何学、三角学、物理学中都有广泛的应用。它的证明方法种类多样，下面介绍三种较为常见的证明方法。
第一种：基于相似三角形
将直角三角形的两条直角边分别标为a、b，斜边标为c。将这个三角形拼成一个边长分别为a和b的正方形和一个边长为c的小正方形，两个正方形的面积分别为a^2、b^2、c^2。然后将大正方形和小正方形中间的一块面积为ab的正方形丢掉，使大正方形有两个小正方形和一个差分阵（由四个互不相同的直角三角形组成，共计c^2-ab个正方形）。通过几何推导，可以证明c^2= a^2 b^2。
第二种：基于代数式构造
设勾股定理成立的直角三角形的三条边分别为a、b、c，满足勾股定理c^2=a^2 b^2。然后将c^2表示为两个完全平方数之差的形式，即c^2=(a b)*(a-b)。根据正整数的因子分解定理，当且仅当a b和a-b均为奇数时，c^2才能表示成两个完全平方数之差。所以我们只需考虑证明a b和a-b均为奇数即可。
第三种：基于向量的几何证明法
利用向量的内积、外积及模的概念，可以推导出关于勾股定理的几何证明。以直角边为一条向量，斜边为另一条向量，利用两向量的内积及外积之间的关系，导出a^2 b^2=c^2。
